PID 控制器¶

标准 PID¶

PID（Proportional-Integral-Derivative）控制器是一种线性控制器，根据被控对象给定值 $r(t)$ 和实际值 $y(t)$ 的控制偏差

\[ e(t)=r(t)-y(t) \]

构成控制律

\[ u(t)=K_c[e(t)+{1 \over {T_i}}\int ^t_0e(t){\mathrm{d}}t+T_d{\frac{\mathrm de(t)}{\mathrm dt}}] \]

或以传递函数表示

\[ G(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_c(1+\frac1{T_is}+T_ds) \]

其中积分分量能够提升系统的稳态性能；微分分量能够改善系统的动态性能。

在数字 PID 控制中，使用的是离散化的 PID 控制器。在模拟 PID 的理论基础上，以一系列采样时刻点 $kT$ 代表连续时间 $t$，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似替代微分，可得离散 PID 表达式

\[ \begin{align} u(k)&=K_p[e(k)+\frac{1}{T_i}\sum^k_{j=0}e(j)T+T_d\frac{e(k)-e(k-1)}{T}]\\ &=K_pe(k)+K_i\sum^k_{j=0}e(j)T+K_d\frac{e(k)-e(k-1)}{T} \end{align} \]

在标准的数字 PID 控制器的基础上，还可以引入一系列优化算法，形成非标准控制算法，以改善系统品质，满足不同控制系统的需要。

PID 优化¶

积分项优化¶

无扰动操作（Bumpless Operation）¶

无扰动操作包括参数初始化过程和变参数的情况。考虑在控制器工作过程中改变积分增益参数，可能引起输出的较大变化，不利于控制。因此将积分项改进为积分增益与误差乘积的累积，而不是误差累积后再乘以积分增益。积分项表示为：

\[ u_i(k)=\sum^k_{j=0}K_ie(j)T \]

梯形积分（Trapezoidal Rule）¶

为尽量减小余差，提高积分项的运算精度，可将矩形积分改为梯形积分。积分项表示为：

\[ u_i(k)=\sum^k_{j=0}K_i{e(j)+e(j-1)\over 2}T \\ \]

抗积分饱和（Anti-windup）¶

积分饱和现象指若系统存在一个方向的偏差，控制器输出由于积分作用的不断累加而持续增大，若超出执行机构正常运行范围便进入了饱和区。一旦系统出现反向偏差，控制器输出逐渐从饱和区退出，进入饱和区越深则退出所需时间越长。在这段时间内，执行机构仍停留在极限位置，而不能随偏差反向立即做出相应的改变，此时将造成控制性能恶化。抗积分饱和法在计算控制器输出 $u(k)$ 时，首先判断上一时刻 $u(k-1)$ 是否已超出限制范围：若 $u(k-1) > \epsilon_u$，只累加负偏差；若 $u(k-1) < \epsilon_l$，只累加正偏差。积分项表示为：

\[ \begin{align} u_i(k)=\sum^{k-1}_{j=0}K_ie(j)T+\alpha K_i e(k)T\\ 其中\ \alpha= \begin{cases} 0, &u(k-1)\cdot e(k)>0\ ,u(k-1) \notin [\epsilon_l,\epsilon_u]\\ 1, &else \end{cases} \end{align} \]

其中阈值区间 $[\epsilon_l,\epsilon_u]$ 根据实际情况人为指定。

积分分离（Integration Separation）¶

积分环节的作用主要为消除静差，提高控制精度。但在短时间系统输出产生较大偏差时，可能会造成积分过度积累，使控制量过大，引起系统超调甚至振荡。此时需要引入积分分离，当被控量与给定值偏差较大时，取消积分作用；接近时引入积分控制。积分项表示为：

\[ \begin{align} u_i(k)=\beta \sum^k_{j=t_0}K_ie(j)T \\ 其中\ \beta= \begin{cases} 1, & e(k) \in [\epsilon_l,\epsilon_u] \\ 0, & else \end{cases} \end{align} \]

其中 $t_0$ 表示引入积分控制的时刻，阈值区间 $[\epsilon_l,\epsilon_u]$ 根据实际情况人为指定。

变速积分（Changing Rate）¶

基于积分分离优化的思想，根据系统偏差大小改变积分的速度，偏差越大，积分越慢，反之则越快，形成连续的变化过程。为此，设置系数 $f[e(k)]$，当 $|e(k)|$ 增大时，$f$ 减小，反之增大，其值在 $[0,1]$ 变化。积分项表示为：

\[ u_i(k)=\sum^{k-1}_{j=0}K_ie(j)T+f[e(k)]\cdot K_i e(k)T\\ \]

系数 $f$ 与当前偏差 $e(k)$ 的关系可以是线性的，可设为

\[ f[e(k)]= \begin{cases} 1, &|e(k)| {\leqslant} \epsilon_l\\ \frac{\epsilon_u - |e(k)| }{\epsilon_u-\epsilon_l},& \epsilon_l< |e(k)|{\leqslant} \epsilon_u\\ 0, &|e(k)| >\epsilon_u \end{cases} \]

其中阈值 $ 0<= \epsilon_l < \epsilon_u $ 根据实际情况人为指定。

微分项优化¶

只对输出微分（Derivative of the process variable）¶

为避免由于给定值频繁升降（尤其是阶跃）而引起的系统振荡，可采用只对输出微分的优化算法，其特点是只对系统输出进行微分。这样，在改变给定值时，微分项输出仅与被控量的变化相关，而这种变化通常是比较缓和的，从而能够明显改善系统的动态特性。此方案也称为“微分先行”。

简单的离散形式优化的微分项表示为：

\[ u_d(k)=K_d\frac{y(k)-y(k-1)}{T_i}\\ \]

也可以通过权重值将误差微分和输出微分结合起来：

\[ u_d(k)=K_d\frac{ (1-w_0) \cdot (e(k)-e(k-1)) + w_0 \cdot (y(k)-y(k-1))}{T_i}\\ \]

其中 $w_0 \in [0,1] $。

微分滤波（Derivative Filter）¶

微分项可改善系统的动态特性，但也易引进高频干扰，在误差扰动突变时尤其显出微分项的不足。因此，可以在控制算法中加入一阶惯性环节（低通滤波器），可使系统性能得到改善。可将滤波器直接加在微分环节上或控制器输出上。此方案也称为“不完全微分”。

事实上，还可以针对系统的频域特性设计合适的滤波器，这里不做更深入的探究。

对微分环节输出进行一阶滤波，微分项表示为：

\[ u_d(k)= \begin{cases} (1-w_0)\cdot u_d(k) +w_0 \cdot u_d(k-1),& u_d(k-1) \notin [\epsilon_l,\epsilon_u] \\ u_d(k), & others \end{cases} \]

其中系数 $w_0\in [0,1]$ 和阈值区间 $[\epsilon_l,\epsilon_u]$ 根据实际情况人为指定。

其他优化¶

时间间隔自动采样（Automatic Time Interval Sampling）¶

理论上离散 PID 的采样时间间隔是一致的，但实际应用中，由于资源有限或任务过重，PID 每次计算之间的时间间隔可能不是一致的。因此，在调用 PID 进行计算时，将自动获取和记录计算时刻，来计算每次的采样间隔 $T_i$ ，并用于积分项计算和微分项计算。

角度最小差值（Period-Sub）¶

由于角度是周期性的，所以从角度 $A$ 到角度 $B$ 可以有两种路径，两种路径往往一长一短，其中较短路径是令人感兴趣的。由于角度分弧度值和角度值以及其周期性的特性，这种最短路径特性可以扩大到任意周期上。因此，周期性由圆来代表。周期的大小用圆上刻度来表示，当周期大小为0，即圆上没有刻度时，采用直接相减的方式。

对于角度的控制，需要考虑是否选择最短的变换路径。在 PID 的计算过程中，这一点可以通过更改误差值 $e(j)$ 的计算方式来实现：

\[ e(k) = \begin{cases} r(k)-y(k) & \text{ if } period=0 \\ (r(k)-y(k)) \mod{period} & \text{ if } period \ne 0 \end{cases} \]

带死区（Dead Band）¶

为避免控制作用过于频繁，消除由于频繁动作所引起的振荡，必要时可采用带死区的 PID 控制算法，即判断控制偏差是否小于给定阈值，若小于则不输出。当阈值过大时，在阈值点的输出会从 0 突变，对输出造成干扰。更一般的，给定阈值区间 $[\epsilon_l,\epsilon_u]$，当控制偏差在阈值区间之外时，正常输出；当控制偏差在 $[\epsilon_l+ \delta, \epsilon_u -\delta)$ 时，输出为 $({\epsilon_l+\epsilon_u})/{2} $；当控制偏差在 $[\epsilon_l,\epsilon_l+ \delta) \cup [\epsilon_u -\delta, \epsilon_u]$ 时，进行插值处理。控制器输出表示如下：

\[ u(k)= \begin{cases} u(k), & \epsilon_u<=e(k)\\ \frac{\epsilon_l+\epsilon_u}{2} +\frac{u(k)- \epsilon_u +\delta }{\delta}\frac{\epsilon_u-\epsilon_l}{2},& \epsilon_u-\delta \le e(k)<\epsilon_u \\ ({\epsilon_l+\epsilon_u})/{2} ,& \epsilon_l+ \delta \le e(k) < \epsilon_u -\delta\\ \frac{\epsilon_l+\epsilon_u}{2} +\frac{u(k) - \epsilon_l -\delta }{\delta}\frac{\epsilon_u-\epsilon_l}{2} , & \epsilon_l \le e(k) < \epsilon_l + \delta\\ u(k), & e(k) < \epsilon_l \end{cases} \]

其中阈值区间 $[\epsilon_l, \epsilon_u]$ 根据实际情况人为指定，$\delta=(\epsilon_u-\epsilon_l)/10$。

给定值平滑（Setpoint Ramping）¶

当给定值出现较大的阶跃变化，很容易引起超调。使用线性斜坡函数或一阶滤波为给定值安排过渡过程，使其从其旧值逐渐变化到新值，以避免阶跃变化产生的不连续性，进而使对象运行平稳，适用于高精度伺服系统的位置跟踪。

实际应用中，一般给出最大阶跃范围。若超出该范围，对给定值进行一阶滤波处理。给定值表示如下：

\[ r(k)= \begin{cases} r(k), &|e(k)| {\leqslant} \epsilon_2\\ w_1\cdot r(k)+(1-w_1)r(k-1), &|e(k)| {>} \epsilon_2 \end{cases} \]

其中阈值 $\epsilon_2$ 及系数 $w_1\in (0,1]$ 根据实际情况人为指定。

前馈校正（Feed-forward）¶

在前馈控制（开环）中考虑系统的已知信息，再将输出加到 PID 控制器（闭环）的控制输出，形成复合校正，能够进一步提升整体的系统性能。前馈校正通路由于不受反馈的影响，不会造成系统的振荡，从而能够在不影响稳定性的情况下改善系统的响应。前馈量通常可以单独提供控制器输出的主要部分；PID 控制器则用来补偿给定值和实际值之间的误差。

前馈量依可量测扰动或给定量来产生，构成按扰动补偿和按输入补偿两种复合控制形式。

我们重点关注按输入补偿的复合控制系统设计。由上图 (b) ，系统输出为 $$ C(s)=\frac{[G_1(s)+G_r(s)]G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}R(s) $$ 如果选择前馈补偿装置传函 $G_r(s)=\frac1{G_2(s)}$，则有 $$ C(s)=R(s) $$ 使得系统输出复现输入，具有理想的时间响应特性。实际这种全补偿难以实现，因此一般采用部分补偿，常用的方法有取输入信号的一阶导数作为前馈补偿信号，即： $$ G_r(s)=\lambda_1s $$ 此方案原理可参考资料[2]第283页。实际中由于控制器工作频率可能高于给定信号频率，此时若采用后向差分则不能获得平滑的前馈量。可以考虑采用跟踪微分器。

组件构成¶

PID 组件提供 BasicPid 和 MultiNodesPid 两个类来实现 PID 控制器。

BasicPid 集成了多种优化方法，可以单独使用。具体实现的方式如图所示。可以根据实际情况，配置 BasicPid 的参数来获取满足要求的控制效果。

MultiNidesPid 内含以 BasicPid 作为节点的容器，通过不同的数据传输方式，可以实现串行或并行计算，具体如图所示。用户可以自行对 BasicPid 进行二次开发。

快速开始¶

在项目中引用头文件：

C++
#include "pid.hpp"

namespace hw_pid = hello_world::pid;

BasicPid¶

实例化一个 PID 控制器¶

创建一个使用默认参数的 PID 控制器实例：

C++
hw_pid::BasicPid pid;

创建一个指定 $K_p$ , $K_i$ , $K_d$ 而其他参数默认的 PID 控制器实例：

C++
hw_pid::BasicPid pid(0.6f, 0.1f, 0.0f);

创建一个指定所有参数的 PID 控制器实例：

C++
const hw_pid::BasicPid::Params kBasicPidParams = {
  .auto_reset = false, // 不开启自动清零
  .kp = 0.6f,
  .ki = 0.0f,
  .kd = 0.0f,
  .max_interval_ms = 5, // 两次调用间隔超过5ms，认为采样异常，若此时开启自动清零，则会将 PID 动态数据重置为初始值
  .out_limit = hw_pid::OutLimit(true, -100.0f, 100.0f),  // 开启输出限幅，限幅范围为[-100, 100]
  // 其他优化项目
};

为了减少内存占用，建议使用常量或局部变量。尽管 BasicPid::Params 类型与 BasicPidParams 类型相同，但还是建议使用 BasicPid::Params 类型。

修改实例化后的参数¶

提供了修改参数的接口 params()。

C++
// 单个参数的修改
pid.params().kp = 10; // 设置比例系数为 10
pid.params().auto_reset = true; // 开启自动清零
pid.params().inte_anti_windup.setParams(true ,-0.5, 0.5); // 开启积分抗饱和优化
// 一次性修改所有参数
const hw_pid::BasicPidParams::Params params = ...;
pid.params() = params;

注意：一次性修改所有参数的用法中，如果 pid 中已经修改了部分参数，但 params 中未作对应的修改，即 params 采用默认值，那么 pid 的参数将会被覆写成默认值

调用 `calc` 函数进行计算¶

C++
hw_pid::BasicPid pid = ...;
float ref = ...; // 参考值
float fdb = ...; // 反馈值
float ffd = ...; // 前馈值
float out = ...; // 存储输出值
// 不使用前馈值进行计算
pid.calc(&ref, &fdb, nullptr, &out);
// 使用前馈值进行计算
pid.calc(&ref, &fdb, &ffd, &out);

监视数据¶

提供了数据查看接口 datas()。

C++
hw_pid::BasicPid pid = ...;
hw_pid::BasicPid::Datas debug_datas;
void Task()
{
  pid.calc(...);
  debug_datas=pid.datas();
};

MultiNodesPid¶

MultiNodesPid 依赖 tools::list 实现，提供部分容器操作接口。为更好使用该类，请优先阅读tools::list 的相关事项。

实例化与参数配置¶

提供了四种构造函数，通用参数为多节点 PID 控制器的类型和输出限幅，不同的是指定节点数量和初始化数据的方式。其中，多节点 PID 控制器的输出限幅与其内部节点 PID 的输出限幅完全无关，即，其内部节点 PID 的输出限幅需要单独设置。

C++
// 实例化三节点的串行 PID 控制器，多节点 PID 控制的输出限制为 -16000 ~ 16000，内部节点参数均为默认值
hw_pid::MultiNodesPid cascade_pid(hw_pid::kMultiNodesPidTypeCascade, hw_pid::OutLimit(true, -16000, 16000), 3);
// 节点参数修改
multi_nodes_pid.paramsAt(0).kp = 0.6;
multi_nodes_pid.paramsAt(1).kp = 0.6;
multi_nodes_pid.paramsAt(2) = {
  .auto_reset = false,
  .out_limit = hw_pid::OutLimit(true, -7, 7),
};
// 实例化三节点的并行 PID 控制器，多节点 PID 控制的输出限制为 -16000 ~ 16000，内部节点参数在初始化时指定
const hw_pid::MultiNodesPid::Params params_arr[3] = {{...}, {...}, {...}};
hw_pid::MultiNodesPid parallel_pid(hw_pid::kMultiNodesPidTypeParallel, hw_pid::OutLimit(true, -16000, 16000), hw_pid::MultiNodesPid::ParamsList(params_arr, params_arr+3));

计算¶

C++
hw_pid::MultiNodesPid two_nodes_cascade_pid = ...;
hw_pid::MultiNodesPid two_nodes_parallel_pid = ...;
void CascadeCalc()
{
  float ref[1] = ...; // 参考值，请注意参考值的数组大小需要大于 1 ，否则会出现数组越界
  float fdb[2] = ...; // 反馈值，请注意参考值的数组大小需要大于等于节点数量，否则会出现数组越界
  float ffd = ...; // 前馈值
  float out = ...; // 存储输出值
  // 不使用前馈值进行计算
  two_nodes_cascade_pid.calc(ref, fdb, nullptr, &out);
  // 使用前馈值进行计算
  two_nodes_cascade_pid.calc(ref, fdb, &ffd, &out);
  // 或者使用接口: cascadeCalc
};

void ParallelCacl()
{
  float ref[2] = ...; // 参考值，请注意参考值的数组大小需要大于等于节点数量，否则会出现数组越界
  float fdb[2] = ...; // 反馈值，请注意参考值的数组大小需要大于等于节点数量，否则会出现数组越界
  float ffd = ...; // 前馈值
  float out = ...; // 存储输出值
  // 不使用前馈值进行计算
  two_nodes_parallel_pid.calc(ref, fdb, nullptr, &out);
  // 使用前馈值进行计算
  two_nodes_parallel_pid.calc(ref, fdb, &ffd, &out);
  // 或者使用接口: parallelCalc
};

数据监视¶

C++
hw_pid::MultiNodesPid multi_nodes_pid = ...;
hw_pid::MultiNodesPid::Datas debug_datas;
void Task()
{
  multi_nodes_pid.calc(...);
  debug_datas = multi_nodes_pid.datasAt(0);
};

注意：由于使用链表，在 Ozone 中，不能通过数据监视窗口查看链表数据。

调试技巧¶

进行 PID 调参时，可以通过如下方式进行在线调参（避免重烧代码）：

C++
void Task()
{
  static hw_hello_world::pid::MultiNodesPid::Params params = pid_ptr->getParamsAt(0);
  pid_ptr->getParamsAt(0) = params;
}

或是

C++
static pid::MultiNodesPid::Params* params = nullptr;

void Task()
{
  params = pid_ptr->getParamsAt(0);
}

然后便可以在 Ozone 中，将 params 变量添加到观察窗口，然后变可以直接修改变量的值，通过以上方法修改的值会导致 PID 控制器中参数同时发送变化，从而实现在线调参的功能。

附录¶

版本说明¶

版本号	发布日期	说明	贡献者
	2024.02.24	PID 算法文档	周渝松
	2024.07.28	完善 PID 算法文档	蔡坤镇